Analytická geometrie

Vzhled přesunout do postranního panelu skrýt

Analytická geometrie (také souřadnicová geometrie nebo kartézská geometrie) je část geometrie, která zkoumá geometrické útvary v euklidovské geometrii pomocí algebraických a analytických metod.

V analytické geometrii jsou geometrické útvary v prostoru vyjadřovány čísly a rovnicemi ve zvolených souřadnicových soustavách. Mnohé problémy analytické geometrie jsou úzce svázány s lineární algebrou.

Historie

Za zakladatele analytické geometrie je považován René Descartes, který publikoval základní metody v roce 1637 ve svém spisu La Géométrie.

Analytická geometrie v Euklidovském prostoru

V euklidovském prostoru obvykle máme danou soustavu souřadnic { x 1 , x 2 , … , x n } {\displaystyle \{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}} $\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}$ bodů i vektorů. Velikost vektoru ( v 1 , v 2 , … , v n ) {\displaystyle (v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})} $(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})$ je v 1 2 + … + v n 2 {\displaystyle {\sqrt {v_{1}^{2}+\ldots +v_{n}^{2}}}} ${\sqrt {v_{1}^{2}+\ldots +v_{n}^{2}}}$ a skalární součin vektorů ( v 1 , v 2 , … , v n ) ⋅ ( w 1 , … , w n ) = v 1 w 1 + … v n w n {\displaystyle (v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})\cdot (w_{1},\ldots ,w_{n})=v_{1}w_{1}+\ldots v_{n}w_{n}} $(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})\cdot (w_{1},\ldots ,w_{n})=v_{1}w_{1}+\ldots v_{n}w_{n}$ . Přímky jsou dány jako množiny { a + t v ; t ∈ R } {\displaystyle \{a+t\mathbf {v} ;\,t\in \mathbb {R} \}} $\{a+t\mathbf {v} ;\,t\in \mathbb {R} \}$ kde a je bod a v vektor. V dvourozměrném prostoru je navíc definována kružnice jako množina bodů v rovině, které mají stejnou vzdálenost od jednoho bodu ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} $(x_{0},y_{0})$ (středu kružnice). Její rovnice je ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = r 2 {\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}} $(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}$ . Takto popsaný prostor, ve kterém můžeme definovat přímky, body, úhly a vzdálenosti pomocí rovnic a souřadnic, tvoří model pro euklidovské geometrie.

Vzájemná poloha geometrických útvarů

Vzájemnou polohu geometrických útvaru popsaných rovnicemi lze obvykle určit z vlastností těchto rovnic, resp. z (ne)existence jejich řešení.

Vzájemná poloha bodu a křivky

Bod může ležet buď mimo křivku, nebo na ní.
Bod A leží na křivce p pokud dosazením souřadnic bodu do rovnice křivky získáme rovnost.

A , p ( y 1 , … , y n ) = 0 , A ∈ p ⇔ p ( x 1 , … , x n ) = 0 {\displaystyle A,p(y_{1},\ldots ,y_{n})=0,A\in p\Leftrightarrow p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}

A,p(y_{1},\ldots ,y_{n})=0,A\in p\Leftrightarrow p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0

Vzájemná poloha bodu a přímky

Pokud bod leží na přímce, rozděluje ji takto na dvě polopřímky. Bod ležící mimo přímku s ní určuje jednu rovinu.
Obdobně jako u obecné křivky, bod A leží na přímce p pokud dosazením souřadnic bodu do rovnice přímky získáme rovnost.

A , p : a 1 y 1 + … + a n y n + d = 0 , A ∈ p ⇔ a 1 x 1 + … + a n x n + d = 0 {\displaystyle A,p:a_{1}y_{1}+\ldots +a_{n}y_{n}+d=0,A\in p\Leftrightarrow a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+d=0}

A,p:a_{1}y_{1}+\ldots +a_{n}y_{n}+d=0,A\in p\Leftrightarrow a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+d=0

Leží-li bod mimo přímku, je možno určit jejich vzájemnou vzdálenost.

Vzájemná poloha bodu a kružnice

Obecný bod může ležet

uvnitř kružnice (vzdálenost středu kružnice a bodu je menší než poloměr)
na kružnici (vzdálenost středu kružnice a bodu je rovna poloměru)
vně kružnice (vzdálenost středu kružnice a bodu je větší než poloměr)

Vzájemnou polohu bodu a kružnice určuje tzv. mocnost m {\displaystyle m} $m$ bodu ke kružnici. Máme-li kružnici určenou vztahem ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = r 2 {\displaystyle {(x-x_{0})}^{2}+{(y-y_{0})}^{2}=r^{2}} ${(x-x_{0})}^{2}+{(y-y_{0})}^{2}=r^{2}$ , pak mocnost bodu {\displaystyle } $\text{[math]}$ k této kružnici se určí jako

m = ( x ′ − x 0 ) 2 + ( y ′ − y 0 ) 2 − r 2 {\displaystyle m={(x^{\prime }-x_{0})}^{2}+{(y^{\prime }-y_{0})}^{2}-r^{2}}

m={(x^{\prime }-x_{0})}^{2}+{(y^{\prime }-y_{0})}^{2}-r^{2}

Pro m = 0 {\displaystyle m=0} $m=0$ leží bod na kružnici, pro m > 0 {\displaystyle m>0} $m>0$ leží bod vně kružnice a pro m < 0 {\displaystyle m<0} $m<0$ uvnitř kružnice.

Vzájemná poloha dvou přímek

V rovině

Rovnoběžky v rovině jsou přímky, které mají stejný směr a nemají žádný společný bod. Speciálním případem je totožnost. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom bodě – průsečíku. Ten je tedy jejich jediným společným bodem.

Dvě přímky v rovině se dají popsat jako množina bodů x , y {\displaystyle x,y} $x,y$ splňujících rovnice

y = k 1 x + q 1 {\displaystyle y=k_{1}x+q_{1}}

y=k_{1}x+q_{1}

y = k 2 x + q 2 {\displaystyle y=k_{2}x+q_{2}}

y=k_{2}x+q_{2}

Podmínka rovnoběžnosti je k 1 = k 2 {\displaystyle k_{1}=k_{2}} $k_{1}=k_{2}$ . Přímky jsou kolmé, pokud jejich směrnice k 1 , k 2 {\displaystyle k_{1},k_{2}} $k_{1},k_{2}$ splňují podmínku k 1 k 2 + 1 = 0 {\displaystyle k_{1}k_{2}+1=0} $k_{1}k_{2}+1=0$ .

Průsečík dvou přímek získáme řešením této soustavy, čímž dostaneme souřadnice průsečíku

x P = q 1 − q 2 k 2 − k 1 y P = q 1 k 2 − q 2 k 1 k 2 − k 1 {\displaystyle x_{P}={\frac {q_{1}-q_{2}}{k_{2}-k_{1}}}\quad y_{P}={\frac {q_{1}k_{2}-q_{2}k_{1}}{k_{2}-k_{1}}}}

x_{P}={\frac {q_{1}-q_{2}}{k_{2}-k_{1}}}\quad y_{P}={\frac {q_{1}k_{2}-q_{2}k_{1}}{k_{2}-k_{1}}}

V třírozměrném prostoru

Rovnoběžky v prostoru jsou přímky, které mají stejný směr. Speciálním případem jsou totožné přímky. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom bodě, tedy mají právě jeden společný bod. Mimoběžky jsou přímky, které neleží ve stejné rovině a proto se neprotínají i když mají různý směr.

Dvě přímky mohou být zadané rovnicemi

a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 , a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 {\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0,\quad a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0\quad }

a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0,\quad a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0\quad

a 3 x + b 3 y + c 3 z + d 3 = 0 , a 4 x + b 4 y + c 4 z + d 4 = 0 {\displaystyle a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z+d_{3}=0,\quad a_{4}x+b_{4}y+c_{4}z+d_{4}=0\quad }

a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z+d_{3}=0,\quad a_{4}x+b_{4}y+c_{4}z+d_{4}=0\quad

(předpokládejme, že první i druhá dvojice rovnic opravdu určuje přímku a ne rovinu nebo prázdnou množinu). Tyto dvě přímky se protínají, pokud matice

A = ( a 1 b 1 c 1 d 1 a 2 b 2 c 2 d 2 a 3 b 3 c 3 d 3 a 4 b 4 c 4 d 4 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}&d_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}&d_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}&d_{3}\\a_{4}&b_{4}&c_{4}&d_{4}\end{pmatrix}}}

A={\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}&d_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}&d_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}&d_{3}\\a_{4}&b_{4}&c_{4}&d_{4}\end{pmatrix}}

je singulární. Přímky jsou totožné, pokud tato matice má hodnost 2. Přímky jsou rovnoběžné, pokud matice tvořená prvními třemi sloupci A má hodnost 2.

Vzájemná poloha dvou kružnic

Jako vzájemná poloha dvou kružnic se v geometrii označuje počet průsečíků a poloha dvou kružnic. Tato poloha je závislá na velikosti poloměrů jednotlivých kružnic r 1 {\displaystyle r_{1}} $r_{1}$ , r 2 {\displaystyle r_{2}} $r_{2}$ a vzdálenosti jejich středů s.

Vzájemné polohy dvou kružnic.

Kružnice

jsou soustředné, pokud s = 0 (viz kružnice k a k1)
- pokud zároveň r 1 = r 2 {\displaystyle r_{1}=r_{2}} $r_{1}=r_{2}$ , pak jsou kružnice totožné a mají nekonečně mnoho společných bodů
- v ostatních případech ( r 1 ≠ r 2 {\displaystyle r_{1}\neq r_{2}} $r_{1}\neq r_{2}$ ) nemají společný bod.
nemají společný bod (menší kružnice leží celá uvnitř větší), pokud 0 < s < | r 1 − r 2 | {\displaystyle 0<s<\left|r_{1}-r_{2}\right|} $0<s<\left|r_{1}-r_{2}\right|$ (viz kružnice k a k2)
mají vnitřní dotyk, pokud s = | r 1 − r 2 | {\displaystyle s=\left|r_{1}-r_{2}\right|} $s=\left|r_{1}-r_{2}\right|$ (viz kružnice k a k3)
se protínají (mají 2 společné průsečíky), pokud | r 1 − r 2 | < s < r 1 + r 2 {\displaystyle \left|r_{1}-r_{2}\right|<s<r_{1}+r_{2}} $\left|r_{1}-r_{2}\right|<s<r_{1}+r_{2}$ (viz kružnice k a k4)
mají vnější dotyk, pokud s = r1 + r2 (viz kružnice k a k5)
nemají společný bod (leží vně), pokud s > r1 + r2 (viz kružnice k a k6)

Jsou-li kružnice zadány svými rovnicemi, lze jejich vzájemnou polohu určit řešením odpovídající soustavy rovnic.

Vzájemná poloha přímky a kružnice

Vzájemná poloha přímky a kružnice.

Vzájemná poloha přímky a kružnice (ležící v téže rovině) závisí na vzdálenosti s středu kružnice od přímky a poloměru r {\displaystyle r} $r$ .

s > r {\displaystyle s>r} $s>r$ : přímka nemá s kružnicí žádný společný bod (tzv. vnější přímka kružnice nebo nesečna)
s = r {\displaystyle s=r} $s=r$ : přímka se nazývá tečnou ke kružnici a má s ní 1 společný bod dotyku
s < r {\displaystyle s<r} $s<r$ : přímka se nazývá sečna a má s kružnicí 2 společné body (průsečíky) a úsečka s krajními body v průsečících se nazývá tětiva (nejdelší tětiva je průměr)

Přímka tedy může kružnici protínat ve dvou, v jednom nebo v žádném bodě.

Mějme přímku zadanou směrnicovou rovnicí y = k x + q {\displaystyle y=kx+q} $y=kx+q$ a kružnici se středem v počátku a rovnicí x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ , pak souřadnice průsečíků, které získáme řešením této soustavy rovnic, jsou

{\displaystyle \left}

\left

O poloze přímky vzhledem ke kružnici rozhoduje člen D = r 2 ( 1 + k 2 ) − q 2 {\displaystyle D=r^{2}(1+k^{2})-q^{2}} $D=r^{2}(1+k^{2})-q^{2}$ . Pro D > 0 {\displaystyle D>0} $D>0$ protíná přímka kružnici ve dvou různých bodech (přímka je sečnou kružnice). Pro D = 0 {\displaystyle D=0} $D=0$ mají přímka a kružnice společný právě jeden bod, tzn. přímka se kružnice pouze dotýká (přímka je tečnou kružnice). Pro D < 0 {\displaystyle D<0} $D<0$ přímka kružnici neprotíná v žádném bodě (jde o tzv. vnější přímku kružnice).

Vzájemná poloha dvou rovin v třírozměrném prostoru

Dvě různé roviny ρ , σ {\displaystyle \rho ,\sigma } $\rho ,\sigma$ v trojrozměrném prostoru, které mají společnou přímku p {\displaystyle p} $p$ , se nazývají různoběžné a značí ρ ∦ σ {\displaystyle \rho \nparallel \sigma } $\rho \nparallel \sigma$ . Přímka p {\displaystyle p} $p$ se nazývá průsečnice obou rovin ρ {\displaystyle \rho } $\rho$ a σ {\displaystyle \sigma } $\sigma$ .

Dvě různé roviny, které nemají v prostoru žádný společný bod anebo jsou identické (totožné), se označují jako rovnoběžné.

Pokud jsou roviny popsány rovnicemi a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 {\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0} $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0$ a a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 {\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0} $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0$ , pak se protínají, pokud tyto dvě rovnice mají společné řešení, jsou rovnoběžné pokud nemají řešení a jsou totožné, pokud druhá rovina je násobkem první rovnice.

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu analytická geometrie na Wikimedia Commons

Portály: Matematika