Jako zlatý řez (latinsky sectio aurea) se označuje poměr o hodnotě přibližně 1,618 : 1 (resp. 1 : 0,618). V umění a fotografii je pokládán za ideální proporci mezi různými délkami. Zlatý řez vznikne rozdělením úsečky na dvě části tak, že poměr větší části k menší je stejný jako poměr celé úsečky k větší části. Hodnota tohoto poměru je iracionální číslo
φ = 1 + 5 2 = 1 , 618... {\displaystyle \varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}=1,618...}Již nejméně od renesance využívají zlatý řez umělci ve svých dílech, zejména ve formě tzv. zlatého obdélníku, ve kterém se zlatý řez vyskytuje jako poměr stran. Zlatý řez prý totiž působí esteticky příznivým dojmem; poměr zlatého řezu lze také pozorovat v přírodě.
Značení písmenem φ začal na počátku 20. století používat Mark Barr, přičemž je zvolil na počest řeckého sochaře Feidia (cca 490–430 př. n. l.), který podle historiků ve svých dílech zlatý řez hojně využíval. Občas se používá také označení τ z řeckého tome = řez.
„ | Geometrie má dva poklady: Pythagorovu větu a zlatý řez. První má cenu zlata, druhý připomíná spíše drahocenný kámen. | “ |
— Johannes Kepler |
Zlatý řez se vyskytuje v přírodě ve formě Fibonacciho posloupnosti. Listy rostlin, pokud vyrůstají jednotlivě, jsou na větvičkách rozloženy tak, že každý list vyrůstá nad předchozím listem více či méně posunut o určitý úhel. V dolní části stonku jsou listy starší a větší, u vrcholu mladší a menší. Všechny listy jsou stejnoměrně osvětlovány Sluncem, menší nestíní větším, které mají delší řapíky. Dalším projevem zlatého řezu je uspořádání semen slunečnice nebo smrkové šišky, ve kterých jsou šupiny rozmístěny jako spirála, nebo točité schody. Toto rozmístění je také velice dobře vidět u ananasu. Dalším projevem zlatého řezu v přírodě je logaritmická spirála, která nemění tvar a roste stejně do délky i do šířky. Jejím projevem je růst neživých částí živého tvora. Mohou to být vlasy, nehty, zobáky, zuby, rohy, parohy nebo schránky měkkýšů. Čím více se její zakřivení liší od zakřivení kružnice, tím méně připomíná spirálu. Mírně ohnutý sloní kel i hustě točená ulita plže jsou v tomto ohledu příbuzné. Turovitým kopytníkům, mezi které patří i náš hovězí dobytek a ovce, rostou rohy do spirály. Nebývá to vždy na první pohled zřetelné, neboť obyčejně jsou jen částí jednoho závitu spirály, ale některé jsou přímo ukázkou prostorové logaritmické spirály, např. africký kudu. Spirálu najdeme v klu slona nebo zubu narvala. Narval má zubů velmi málo, pouze v horní čelisti. Samci jeden z těchto zubů naroste do obrovských rozměrů. Je to vždy levý zub a na povrchu je spirálovitá struktura. Je také rozšířen mýtus, že na lidském těle lze zlatý řez pozorovat tehdy, jestliže se výška postavy (od temene hlavy) dělí vzdáleností pupku od země.
Schránka hlavonožce loděnky je ilustrací logaritmické spirály. Nejlépe se o tom přesvědčíme na průřezu ulity. Přepážky, které ji rozdělují na komůrky, svědčí o tom, jak loděnka rostla. Logaritmická spirála je příznačná pro neživé části živého organismu ulity plžů. Také hmyz se ke světlu blíží po logaritmické spirále. Pohybuje se tak, aby světlo viděl stále pod stejným úhlem.
Malíři 1830–1870 Barbizonské školy kompozici zlatého řezu také uplatňovali:
Podobně jako v umění, pracuje se hojně se zlatým řezem i v dalších disciplínách, kde je důležité estetické působení na diváka či pozorovatele – např. v architektuře, designu, fotografii atd. Druhý hlavní princip, využívaný často v duchu klasické estetiky, je princip symetrie.
Zlatý řez má mnoho zajímavých vlastností. Například se vyskytuje v pravidelném pětiúhelníku nebo je to limita poměru mezi dvěma následujícími členy Fibonacciho posloupnosti. Pentagram (penta – pět, grame – čára) je pěticípá hvězda nakreslená jedním tahem, která má sice chybu na kráse, neboť ji křižují čáry a oddělují ramena od středu, ale vzdálenosti mezi vrcholy jsou v poměru zlatého řezu. Pentagram měli Řekové ve velké úctě, neboť názorně představoval to, co neuměli vyjádřit číselným poměrem. Zákonitost, která se v pentagramu ukrývala, z něj učinila tajemný symbol dokonalosti vesmíru.
Obdélník, jehož poměr stran odpovídá zlatému řezu, lze rozdělit na čtverec a obdélník, jehož poměr stran opět odpovídá zlatému řezu.
φ = φ 2 − 1 {\displaystyle \varphi =\varphi ^{2}-1}
φ = 1 φ − 1 {\displaystyle \varphi ={\frac {1}{\varphi -1}}}
φ = φ + 1 {\displaystyle \varphi ={\sqrt {\varphi +1}}}
Pokud části úsečky označíme jako a {\displaystyle a}
b a = a a + b {\displaystyle {\frac {b}{a}}={\frac {a}{a+b}}} a b {\displaystyle b} , musí platit , přičemž φ = a b {\displaystyle \varphi ={\frac {a}{b}}} .To znamená, že a = b φ {\displaystyle a=b\varphi }
b b φ = b φ b φ + b {\displaystyle {\frac {b}{b\varphi }}={\frac {b\varphi }{b\varphi +b}}} , což po dosazení do první rovnice dává .Úpravou této rovnice se získá kvadratická rovnice
φ 2 − φ − 1 = 0 {\displaystyle \varphi ^{2}-\varphi -1=0} ,jejímž kladným kořenem (záporný zde nemá smysl) je
φ = 5 + 1 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}} .Převrácená hodnota zlatého řezu je rovna také výrazu φ − 1 {\displaystyle \varphi -1}
1 φ = φ − 1 = 5 − 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}} , jinými slovy, u čísla φ {\displaystyle \varphi } i 1 φ {\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}} je shodná část za desetinnou čárkou. Tato unikátní vlastnost vede na stejnou kvadratickou rovnici jako výše, takže z ní lze hodnotu zlatého řezu rovněž vypočítat.Číslo φ {\displaystyle \varphi } řetězového zlomku:
φ = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + … {\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+\ldots }}}}}}}}}}} lze vyjádřit pomocíPokud vezmeme libovolné číslo a 0 > 0 {\displaystyle a_{0}>0}
i abs err Pi Qi ai -- -------- ---------- ---------- ------------------ 0 6.2E-01 1 / 1 = 1.000000000000000 1 -3.8E-01 2 / 1 = 2.000000000000000 2 1.2E-01 3 / 2 = 1.500000000000000 3 -4.9E-02 5 / 3 = 1.666666666666667 4 1.8E-02 8 / 5 = 1.600000000000000 5 -7.0E-03 13 / 8 = 1.625000000000000 6 2.6E-03 21 / 13 = 1.615384615384615 7 -1.0E-03 34 / 21 = 1.619047619047619 8 3.9E-04 55 / 34 = 1.617647058823529 9 -1.5E-04 89 / 55 = 1.618181818181818 10 5.6E-05 144 / 89 = 1.617977528089888 11 -2.2E-05 233 / 144 = 1.618055555555556 12 8.2E-06 377 / 233 = 1.618025751072961 13 -3.1E-06 610 / 377 = 1.618037135278515 14 1.2E-06 987 / 610 = 1.618032786885246 15 -4.6E-07 1597 / 987 = 1.618034447821682 16 1.8E-07 2584 / 1597 = 1.618033813400125 17 -6.7E-08 4181 / 2584 = 1.618034055727554 18 2.6E-08 6765 / 4181 = 1.618033963166706 19 -9.8E-09 10946 / 6765 = 1.618033998521803 20 3.7E-09 17711 / 10946 = 1.618033985017358 21 -1.4E-09 28657 / 17711 = 1.618033990175597 22 5.4E-10 46368 / 28657 = 1.618033988205325 23 -2.1E-10 75025 / 46368 = 1.618033988957902 24 7.9E-11 121393 / 75025 = 1.618033988670443 25 -3.0E-11 196418 / 121393 = 1.618033988780243 26 1.2E-11 317811 / 196418 = 1.618033988738303 27 -4.4E-12 514229 / 317811 = 1.618033988754322 28 1.7E-12 832040 / 514229 = 1.618033988748204 29 -6.5E-13 1346269 / 832040 = 1.618033988750541 30 2.5E-13 2178309 / 1346269 = 1.618033988749648 , pak iterativní posloupnost a i + 1 = 1 a i + 1 {\displaystyle a_{i+1}={\frac {1}{a_{i}}}+1} konverguje ke zlatému řezu.Pozn.: Pi = Pi-1 + Qi-1; ai = Pi / Qi; viz též Fibonacciho posloupnost.
Zlatý řez je jakožto kvadratická iracionalita euklidovsky konstruovatelným číslem (pomocí kružítka a pravítka).