Jako Lorentzův faktor se označuje člen, který se často vyskytuje ve výrazech a rovnicích speciální teorie relativity (např. kontrakce délek, dilatace času, Lorentzova transformace) a podle kterého se pro pohybující se objekt mění čas, vzdálenost a relativistická hmotnost.
Tento člen se označuje řeckým písmenem γ (gama) a je definován jako
γ ≡ 1 1 − v 2 c 2 = c c 2 − v 2 = d t d τ {\displaystyle \gamma \equiv {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}={\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}} ,kde v {\displaystyle v} rychlosti ve vztažné soustavě, v níž je měřen čas t {\displaystyle t} , τ {\displaystyle \tau } je vlastní čas a c {\displaystyle c} je rychlost světla ve vakuu.
je velikostDalším často se opakujícím výrazem je v c {\displaystyle {\frac {v}{c}}} bezrozměrná rychlost a značí se β {\displaystyle \beta } .
β ≡ v c {\displaystyle \beta \equiv {\frac {v}{c}}} , nazývá seLorentzův faktor lze pak vyjádřit jako
γ = 1 1 − β 2 = ( 1 − β 2 ) − 1 2 . {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}=\left(1-\beta ^{2}\right)^{-{1 \over 2}}\,.}β {\displaystyle \beta } | γ {\displaystyle \gamma } | γ − 1 {\displaystyle \gamma ^{-1}} |
---|---|---|
0,010 | 1,000 | 1,000 |
0,100 | 1,005 | 0,995 |
0,200 | 1,021 | 0,980 |
0,300 | 1,048 | 0,954 |
0,400 | 1,091 | 0,917 |
0,500 | 1,155 | 0,866 |
0,600 | 1,250 | 0,800 |
0,700 | 1,400 | 0,714 |
0,800 | 1,667 | 0,600 |
0,866 | 2,000 | 0,500 |
0,900 | 2,294 | 0,436 |
0,990 | 7,089 | 0,141 |
0,999 | 22,366 | 0,045 |
Lorentzův faktor lze vyjádřit pomocí Taylorovy řady jako
γ ( β ) = 1 + 1 2 β 2 + 3 8 β 4 + 5 16 β 6 + 35 128 β 8 + . . . . {\displaystyle \gamma (\beta )=1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}+{\frac {3}{8}}\beta ^{4}+{\frac {5}{16}}\beta ^{6}+{\frac {35}{128}}\beta ^{8}+...\,.}Aproximaci γ ≈ 1 + 1 2 β 2 {\displaystyle \gamma \approx 1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}} lze využít pro určení relativistických jevů při nízkých rychlostech. Pro rychlosti β < 0 , 4 {\displaystyle \beta <0,4} vykazuje tato aproximace chybu do 1 %, pro rychlosti β < 0 , 22 {\displaystyle \beta <0,22} vykazuje chybu menší než 0,1 %.
Při omezení řady lze také ukázat, že pro nízké rychlosti přechází speciální teorie relativity na Newtonovu mechaniku. (V následujících vzorcích písmeno m {\displaystyle m} značí klidovou hmotnost, která je invariantní vůči Lorentzově transformaci.) Například relativistický výraz pro hybnost
p = γ m v {\displaystyle \mathbf {p} =\gamma m\mathbf {v} }přejde pro γ ≈ 1 {\displaystyle \gamma \approx 1\,}
p = m v . {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} \,.} naPodobně vztah pro energii
E = γ m c 2 {\displaystyle E=\gamma mc^{2}}přejde pro γ ≈ 1 + 1 2 β 2 {\displaystyle \gamma \approx 1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}}
E = m c 2 + 1 2 m v 2 . {\displaystyle E=mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}\,.} na klasický tvarV Lorentzově transformaci při nízkých rychlostech můžeme zanedbat členy řádu β 2 {\displaystyle \beta ^{2}} pomalou Lorentzovu transformaci.
x ′ = x − β c t {\displaystyle x^{\prime }=x-\beta ct} a vyšší, takže je γ ≈ 1 {\displaystyle \gamma \approx 1} a obdržíme tzv. y ′ = y {\displaystyle y^{\prime }=y} z ′ = z {\displaystyle z^{\prime }=z} c t ′ = c t − β x . {\displaystyle ct^{\prime }=ct-\beta x\,.}Pro některé relativistické výpočty se používá vyjádření rychlosti pomocí γ {\displaystyle \gamma }
β = 1 − 1 γ 2 , {\displaystyle \beta ={\sqrt {1-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}}}\,,}což lze také přepsat do Taylorovy řady
β = 1 − 1 2 γ − 2 − 1 8 γ − 4 − 1 16 γ − 6 − 1 128 γ − 8 + . . . . {\displaystyle \beta =1-{\frac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\frac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\frac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\frac {1}{128}}\gamma ^{-8}+...\,.}