Casorati Weierstrassova vta



Všechny poznatky, které lidé za staletí nashromáždili o Casorati Weierstrassova vta, jsou nyní k dispozici na internetu a my jsme je pro vás shromáždili a uspořádali co nejpřístupnějším způsobem. Chceme, abyste měli rychlý a efektivní přístup ke všem informacím o Casorati Weierstrassova vta, které chcete vědět, aby vaše zkušenost byla příjemná a abyste měli pocit, že jste skutečně našli informace o Casorati Weierstrassova vta, které jste hledali.

Pro dosažení našich cílů jsme se snažili nejen získat co nejaktuálnější, nejsrozumitelnější a nejpravdivější informace o Casorati Weierstrassova vta, ale dbali jsme také na to, aby design, čitelnost, rychlost načítání a použitelnost stránky byly co nejpříjemnější, abyste se mohli soustředit na to podstatné, znát všechny dostupné údaje a informace o Casorati Weierstrassova vta, aniž byste se museli starat o cokoli dalšího, o to jsme se již postarali za vás. Doufáme, že jsme dosáhli svého cíle a že jste našli informace, které jste chtěli o Casorati Weierstrassova vta. Proto vás vítáme a vyzýváme, abyste si i nadále užívali používání scientiacs.com.

V komplexní analýze , oboru matematiky, popisuje Casorati-Weierstrassova vta chování holomorfních funkcí poblí jejich podstatných singularit . Je pojmenován podle Karla Theodora Wilhelma Weierstrassa a Felice Casorati . V ruské literatue se tomu íká Sokhotského vta.

Formální tvrzení vty

Zaít s njakým oteveným podmnoinou v letadle komplexu , který obsahuje ísla a funkci , která je holomorphic na , ale má podstatnou singularitu v  . Casorati-Weierstrassova vta pak uvádí, e

pokud je nkterý sousedství ze obsaené v , pak je hustá v .

To lze také konstatovat následovn:

pro vechny , a komplexního ísla , existuje komplexní íslo v s a  .

Nebo jet popisnjími slovy:

se libovoln blíí jakékoli komplexní hodnot v kadém sousedství .

Vta je znan posílena Picardovou velkou vtou , která ve výe uvedené notaci uvádí, e pedpokládá kadou komplexní hodnotu, s jednou monou výjimkou, nekonen asto .

V pípad, e se jedná o celou funkci a , vta íká, e hodnoty se blíí kadému komplexnímu íslu a , jak má sklon k nekonenu. Je pozoruhodné, e to neplatí pro holomorfní mapy ve vyích dimenzích, jak ukazuje slavný píklad Pierra Fatoua .

Píklady

Funkce f ( z ) = exp (1 / z ) má zásadní singularitu na 0, ale funkce g ( z ) = 1 / z 3 nikoli (má pól na 0).

Zvate funkci

Tato funkce má následující Taylorovu adu o základním singulárním bod na 0:

Vzhledem k tomu, existuje pro vechny body Z   0 víme, e ( z ) je analytický v propíchnutý okolí msta Z  = 0. Z tohoto dvodu se jedná o izolované singularity , stejn jako bytí zásadní singularita .

Pomocí zmny promnné na polární souadnice naí funkce se ( z ) =  e 1 / z stane:

Vezmeme-li absolutní hodnotu obou stran:

Take pro hodnoty takové, e cos   > 0, máme as , a pro , as .

Zvate, co se stane, napíklad kdy z pebírá hodnoty na krunici o prmru 1 / R tené k imaginární ose. Tato krunice je dána r  = (1 / R ) cos  . Pak,

a

Proto me vhodnou volbou R nabrat jakoukoli kladnou hodnotu jinou ne nula . Jako na kruhu, s R fixní. Take tato ást rovnice:

pebírá nekonen asto vechny hodnoty na jednotkovém kruhu . Proto f ( z ) pebírá hodnotu kadého ísla v komplexní rovin s výjimkou nuly nekonen asto.

Dkaz vty

Krátký dkaz vty je následující:

Vezmte, jak je uvedeno, e funkce f je na njakém propíchnutém sousedství V  \ { z 0 } meromorfní a e z 0 je zásadní singularita. Naproti tomu pedpokládejme, e existuje njaká hodnota b , ke které se funkce nikdy neme piblíit; to znamená: pedpokládejme, e existuje njaká komplexní hodnota b a nkterá > 0 taková, e | f ( z ) - b | pro vechna z ve V, kde je definováno f .

Pak nová funkce:

musí být na holomorphic V   { z 0 }, s nulami Na pól z f , a která je vymezena 1 / e. Me být tedy analyticky pokraovat (nebo kontinuáln prodlouena nebo holomorphically rozíena), aby vechny z V podle analytické pokraování vty Riemannovy . Take pvodní funkci lze vyjádit pomocí g :

pro vechny argumenty z ve V   { z 0 }. Zvate dva moné pípady

Pokud je limit 0, pak fpól na z 0  . V pípad, e limit není 0, pak z 0 je vymnitelnou výstedností of f  . Ob monosti jsou v rozporu s pedpokladem, e bod z 0 je podstatnou singularitou funkce f  . Proto je pedpoklad nepravdivý a vta platí.

Djiny

Historie této dleité vty je popsána Collingwoodem a Lohwaterem . To bylo publikováno Weierstrassem v roce 1876 (v nmin) a Sokhotskim v roce 1868 ve své diplomové práci (v rutin). Take se tomu íkalo Sokhotského vta v ruské literatue a Weierstrassova vta v západní literatue. Stejnou vtu publikoval Casorati v roce 1868 a Briot a Bouquet v prvním vydání své knihy (1859). Briot a Bouquet vak tuto vtu odstranili z druhého vydání (1875).

Reference

  1. ^ Fatou, P. (1922). "Sur les fonctions meromorphes de deux variables". Comptes rendus . 175 . 862, 1030.
  2. ^ Collingwood, E; Lohwater, A (1966). Teorie shlukových mnoin . Cambridge University Press .
  3. ^ Briot, Ch; Kytice, C (1859). Theorie des fonctions doublement periodiques, et en particulier, des fonctions elliptiques . Paí.

Opiniones de nuestros usuarios

Brigita Mrázková

Vždy je dobré se učit. Děkujeme za článek o Casorati Weierstrassova vta.

Dita Zelenková

Zjistil jsem, že informace, které jsem našel o Casorati Weierstrassova vta, jsou velmi užitečné a příjemné. Kdybych měl dát "ale", možná by to bylo tak, že to není dostatečně inkluzivní ve svém znění, ale jinak je to skvělé.

Dorota Burešová

Děkuji. Pomohl mi článek o Casorati Weierstrassova vta.

Karla Nový

Skvělý objev tohoto článku o Casorati Weierstrassova vta a celé stránce. Přejde přímo k oblíbeným.