Teorie kategorií

Vzhled přesunout do postranního panelu skrýt Pro pochopení tohoto tématu je vhodné nejprve důkladně porozumět článku Abstraktní algebra

Teorie kategorií je odvětví matematiky zobecňující pohled na matematické struktury a vztahy mezi nimi. Proto je považována za sjednocující teorii, která umožňuje zkoumat spojitosti mezi různými disciplínami, jako jsou například mnohá odvětví matematiky, některé oblasti teoretické informatiky a matematické fyziky.

Definice základních pojmů

Kategorie C se skládá z

třídy objektů ob(C),
třídy morfismů hom(C). Každý morfismus f má právě jeden zdrojový objekt a a cílový objekt b kde a a b jsou z ob(C). Píšeme f: a → b a říkáme, že „f je morfismus z a do b“. Pomocí hom(a, b) (nebo homC(a, b)) označujeme třídu všech morfismů z a do b.
Pro každé tři objekty a, b a c je definována operace hom(a, b) × hom(b, c) → hom(a, c) nazývaná skládání morfismů. Složení f : a → b a g : b → c se zapisuje jako g ∘ f nebo gf (někteří autoři také píšou fg nebo f;g). Pro skládání morfismů platí následující dvě vlastnosti
- (asociativita) pokud f : a → b, g : b → c a h : c → d, tak h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f;
- (identita) pro každý objekt x existuje morfismus 1x : x → x nazývaný identita na x, a to takový, že pro všechny morfismy f : a → b platí 1b ∘ f = f = f ∘ 1a.

Z definice lze dokázat, že existuje právě jedna identita na každém objektu.

Kategorie je malá kategorie, pokud ob(C) a hom(C) jsou nejen třídy, ale dokonce množiny. Kategorie, která není malá, je velká. Kategorie je lokálně malá kategorie pokud pro každé dva objekty a a b je hom(a, b) množina.

Morfismy se někdy nazývají šipky. Tento název má původ v komutativních diagramech.

Úvod do teorie

Příkladem kategorie je:

Kategorie grup: objektem v této kategorii je jakákoli grupa, morfismem z grupy a do grupy b jsou grupové homomorfismy.
Kategorie Set všech množin: objektem je jakákoli množina, morfismem z množiny a do množiny b je jakékoli zobrazení, jehož definiční obor je celá množina a a obor hodnot je podmnožinou b.

Teorie kategorií studuje vlastnosti, které lze o matematických strukturách říci, aniž bychom mluvili o jejich prvcích; smíme mluvit jen o objektech, morfismech a skládání morfismů: Pokud f je morfismus z objektu a do b a g je morfismus z b do c, pak existuje složený morfismus g ∘ f z a do c. Toto skládání je asociativní a pro každý objekt a existuje jednotkový morfismus 1a z a do a tak, že f ∘ 1a = f (pro každý morfismus f z jakéhokoli objektu a do b) a podobně 1b ∘ g = g pro každý morfismus z a do b.

Příklad: V kategorii komutativních grup uvažujme grupy Z, Q, R celých, racionálních a reálných čísel. Mějme tato zobrazení

f: Z → Q tak, že f(x) = 10x g: Q → R tak, že g(x) = 2x

Jedná se skutečně o morfismy v této kategorii, neboť splňují definici grupového homomorfismu. Pak zobrazení h = g ∘ f a j = 1Q vypadají takto:

h(x) = g(f(x)) = 20x pro každé celé číslo x j(x) = x pro každé racionální číslo x

Definice pojmů pomocí morfismů

Teorie kategorií definuje pojmy tak, aby nebylo nutné mluvit o prvcích zkoumaných struktur. Například pojem prosté zobrazení je obvykle definován takto: zobrazení f z množiny A do B je prosté, pokud pro každé x,y ∈ {\displaystyle \in } $\in$ A, x ≠ {\displaystyle \neq } $\neq$ y , platí f(x) ≠ {\displaystyle \neq } $\neq$ f(y).

Obdobný pojem v teorii kategorií zní: Morfismus f z objektu a do b je monomorfismus, pokud pro každý objekt c a morfismy g, h z c do a platí: pokud fg = fh, pak g = h.

V kategorii všech množin jsou monomorfismy právě prostá zobrazení. To lze ilustrovat na tomto příkladu: Budiž f zobrazení ze Z do Q (tedy z celých do racionálních čísel) tak, že f(x) = x2. Toto zobrazení není prosté, protože f(2) = f(-2). Abychom ukázali, že není monomorfismem, zvolme za objekt c množinu {2, -2}. Zobrazení g, h z c do Z zvolme takto:

g(x) = x
h(x) = 2

Tato zobrazení nejsou totožná, neboť číslu -2 přiřazují různé hodnoty. Složeniny fg a fh však totožné jsou, neboť oběma prvkům množiny c přiřadí číslo 4. Stejným způsobem lze o každém zobrazení, které není prosté, ukázat, že v kategorii množin není monomorfismem. Na druhou stranu, pokud zobrazení není monomorfismem, pak pro nějakou množinu c, zobrazení f, g a prvek x ∈ {\displaystyle \in } $\in$ c platí, že g(x) ≠ {\displaystyle \neq } $\neq$ h(x), ale f(g(x)) = f(h(x)). Prvky g(x) a h(x) pak dosvědčují, že f není prosté.

Podobným způsobem teorie kategorií definuje pomocí objektů a morfismů (bez odkazů na prvky těchto objektů) mnoho pojmů, jejichž obvyklá definice s prvky pracuje. To umožňuje studovat společné vlastnosti zdánlivě nesouvisejících a navzájem velmi odlišných struktur, které mají sice zcela jiné prvky, ale jejich morfismy vykazují nějakou podobnost.

Další příklady kategorií

Kategorie Ord, ve které jsou objekty uspořádané množiny, morfismy jsou monotónní funkce a skládání je skládání funkcí.
Každá uspořádaná množina (P, ≤) tvoří malou kategorii, ve které jsou objekty prvky P, morfismus z a do b existuje pokud a≤b a skládání je dané jednoznačně, jelikož mezi a a b existuje nejvýše jeden morfismus.
Každý monoid tvoří malou kategorii s jediným objektem x. Morfismy z x do x jsou prvky monoidu, a skládání morfismů je dáno operací na monoidu.
Kategorie Top je kategorie nazývaná kategorií topologických prostorů. Objekty této kategorie jsou topologické prostory a morfizmy mezi objekty jsou spojitá zobrazení mezi těmito objekty.
Pro každou predikátovou teorii je kategorií třída všech modelů této teorie, přičemž morfismy jsou elementární vnoření

Vzhledem k tomu, jak široký okruh struktur lze teorií kategorií popsat, bývá pokládána za nejobecnější a nejabstraktnější z matematických disciplín.

Historie

Poprvé se kategorie začaly objevovat v pracích Samuela Eilenberga a Saunderse Mac Lana v letech 1942 až 1945 v souvislosti s algebraickou topologií.

Odkazy

Související články

Abstraktní nesmysl

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu teorie kategorií na Wikimedia Commons
Základy teorie kategorií na Czech Digital Mathematics Library
Jan Starý, Úvod do teorie kategorií, skripta online k přednášce Teorie kategorií zde