Rovnostranný trojúhelník

Vzhled přesunout do postranního panelu skrýt

Rovnostranný trojúhelník je trojúhelník, který má všechny tři strany shodné.

Vlastnosti

Kromě vlastností společných pro každý trojúhelník má rovnostranný trojúhelník navíc tyto vlastnosti:

Rovnostranný trojúhelník je osově souměrný se 3 osami souměrnosti, které procházejí vždy vrcholem a středem protější strany.
Všechny vnitřní úhly jsou shodné a jejich velikost je 60°.
Všechny výšky a těžnice jsou shodné.
Těžnice a výška příslušné téže straně jsou totožné.
Střed kružnice vepsané, střed kružnice opsané, průsečík těžnic (těžiště) a průsečík výšek (ortocentrum) splývají.
Výšku lze vypočítat jako v = a ⋅ sin ⁡ 60 ∘ = a ⋅ 3 2 {\displaystyle v=a\cdot \sin {60^{\circ }}={\frac {a\cdot {\sqrt {3}}}{2}}} $v=a\cdot \sin {60^{\circ }}={\frac {a\cdot {\sqrt {3}}}{2}}$
Poloměr kružnice vepsané je roven třetině výšky, tj. r = a ⋅ 3 6 {\displaystyle r={\frac {a\cdot {\sqrt {3}}}{6}}} $r={\frac {a\cdot {\sqrt {3}}}{6}}$ .
Poloměr kružnice opsané je dvakrát větší, tj. R = a ⋅ 3 3 = a 3 {\displaystyle R={\frac {a\cdot {\sqrt {3}}}{3}}={\frac {a}{\sqrt {3}}}} $R={\frac {a\cdot {\sqrt {3}}}{3}}={\frac {a}{\sqrt {3}}}$
Vzdálenost těžiště od libovolné strany je taktéž a ⋅ 3 6 {\displaystyle {\frac {a\cdot {\sqrt {3}}}{6}}} ${\frac {a\cdot {\sqrt {3}}}{6}}$ , vzdálenost těžiště od jakéhokoli vrcholu je a ⋅ 3 3 {\displaystyle {\frac {a\cdot {\sqrt {3}}}{3}}} ${\frac {a\cdot {\sqrt {3}}}{3}}$ .

Obvod

Obvod rovnostranného trojúhelníku o se vypočte podle vzorce:

o = 3 ⋅ a {\displaystyle o=3\cdot a}

o=3\cdot a

, kde a je délka strany rovnostranného trojúhelníku.

Obsah

Vzhledem k tomu, že všechny výšky jsou shodné a jejich velikost je v = a ⋅ sin ⁡ 60 ∘ = a ⋅ 3 2 {\displaystyle v=a\cdot \sin {60^{\circ }}={\frac {a\cdot {\sqrt {3}}}{2}}} $v=a\cdot \sin {60^{\circ }}={\frac {a\cdot {\sqrt {3}}}{2}}$ , potom pro obsah S platí:

S = a ⋅ v 2 = a 2 ⋅ a ⋅ 3 2 = a 2 ⋅ 3 4 = 3 16 ⋅ a 4 = 0 , 1875 ⋅ a 4 {\displaystyle S={\frac {a\cdot v}{2}}={\frac {a}{2}}\cdot {\frac {a\cdot {\sqrt {3}}}{2}}={\frac {a^{2}\cdot {\sqrt {3}}}{4}}={\sqrt {{\frac {3}{16}}\cdot a^{4}}}={\sqrt {0,1875\cdot a^{4}}}}

S={\frac {a\cdot v}{2}}={\frac {a}{2}}\cdot {\frac {a\cdot {\sqrt {3}}}{2}}={\frac {a^{2}\cdot {\sqrt {3}}}{4}}={\sqrt {{\frac {3}{16}}\cdot a^{4}}}={\sqrt {0,1875\cdot a^{4}}}

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu rovnostranný trojúhelník na Wikimedia Commons