Riemannova funkce

Riemannova funkce je v matematice reálná funkce jedné reálné proměnné, definovaná na celé množině reálných čísel, v jejímž funkčním předpisu je znát záměr demonstrovat vlastnosti rozložení racionálních a iracionálních čísel v reálné množině.

Riemannovu funkci lze považovat za rozšíření Dirichletovy funkce.

Riemannova funkce se označuje ${\displaystyle R(x)}$ a je definována následovně:

${\displaystyle R(x):={\begin{cases}0,&{\mbox{pokud}}\ x\ {\mbox{je iracionální číslo}}\\{\frac {\displaystyle 1}{\displaystyle q}},&{\mbox{pokud}}\ x={\frac {\displaystyle p}{\displaystyle q}},\ {\mbox{kde}}\ p,q\ {\mbox{jsou nesoudělná.}}\end{cases}}}$

Graf Riemannovy funkce nelze žádným způsobem nakreslit, ani si ho představit. To, zejména v 19. století, vedlo mnohé matematiky k pochybám, zda Riemannova funkce je regulérní funkcí, či konstruktem, který nepatří do matematiky. Dnes již matematika zcela bez námitek uznává i funkce mnohem podivnější.

Riemannova funkce má následující vlastnosti:

• Není spojitá v žádném racionálním bodě.
• Je spojitá v každém iracionálním bodě.
• Pro každé ${\displaystyle a}$ platí ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}R(x)=0}$.
• Není monotónní na žádném intervalu ani v žádném bodě.
• Nabývá ostrého lokálního maxima v každém racionálním bodě a neostrého globálního minima v každém iracionálním bodě.
• Lebesgueův integrál přes celý definiční obor je roven ${\displaystyle 0}$.
• Newtonův integrál neexistuje.

• Bernhard Riemann
• Dirichletova funkce
• Křivka vyplňující prostor
• Weierstrassova funkce

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Riemannova funkce na Wikimedia Commons