Neutrální prvek
Vzhled přesunout do postranního panelu skrýtV algebře je neutrální prvek e množiny A s binární operací ⊗ {\displaystyle \otimes } takový prvek, pro nějž platí, že výsledkem operace neutrálního prvku a libovolného x ∈ A je x.
takový V případě, že se pro operaci používá multiplikativní značení, např. ⋅ {\displaystyle \cdot } , je e často nazýván jednotkovým prvkem ( 1 ⋅ x = x ) {\displaystyle (1\cdot x=x)} . V případě použití aditivního značení, např. + {\displaystyle +} , je e často nazýván nulovým prvkem ( 0 + x = x ) {\displaystyle (0+x=x)\!} . Pro neutrální prvek se někdy také používá výraz identita.
, je e často nazýván jednotkovým prvkem
(
1
⋅
x
=
x
)
{\displaystyle (1\cdot x=x)}
.
V případě použití aditivního značení, např.
+
{\displaystyle +}
, je e často nazýván nulovým prvkem
(
0
+
x
=
x
)
{\displaystyle (0+x=x)\!}
.
Pro neutrální prvek se někdy také používá výraz Formální definice
Buď A {\displaystyle A\,} množina a ⊗ {\displaystyle \otimes } operace na A {\displaystyle A\,} .
množina a
⊗
{\displaystyle \otimes }
- Prvek e ∈ A {\displaystyle e\in A\,} se nazývá levý neutrální, právě když ∀ x ∈ A : e ⊗ x = x {\displaystyle \forall x\in A:e\otimes x=x} .
- Prvek e ∈ A {\displaystyle e\in A\,} se nazývá pravý neutrální, právě když ∀ x ∈ A : x ⊗ e = x {\displaystyle \forall x\in A:x\otimes e=x} .
- Prvek e ∈ A {\displaystyle e\in A\,} se nazývá neutrální, právě když ∀ x ∈ A : x ⊗ e = e ⊗ x = x {\displaystyle \forall x\in A:x\otimes e=e\otimes x=x} .
se nazývá levý neutrální, právě když
∀
x
∈
A
:
e
⊗
x
=
x
{\displaystyle \forall x\in A:e\otimes x=x}
.
.
.Příklady
- Pokud ( A , ⊗ ) {\displaystyle (A,\ \otimes )} jsou reálná čísla se sčítáním, je číslo 0 neutrálním prvkem.
- Pokud ( A , ⊗ ) {\displaystyle (A,\ \otimes )} jsou reálná čísla s násobením, je neutrálním prvkem číslo 1.
- Pokud ( A , ⊗ ) {\displaystyle (A,\ \otimes )} jsou n-rozměrné čtvercové matice se sčítáním, neutrálním prvkem je nulová matice.
- Pokud ( A , ⊗ ) {\displaystyle (A,\ \otimes )} jsou n-rozměrné matice s násobením, je neutrálním prvkem jednotková matice.
- Pokud ( A , ⊗ ) {\displaystyle (A,\ \otimes )} je množina všech zobrazení z množiny M {\displaystyle M\,} do sebe sama a ⊗ {\displaystyle \otimes } je skládání funkcí, je neutrálním prvem funkce identita definovaná ∀ x ∈ M : i d ( x ) = x {\displaystyle \forall x\in M:id(x)=x} .
- Pokud má A {\displaystyle A\,} pouze dva prvky e {\displaystyle e\,} a f {\displaystyle f\,} a operace ⊗ {\displaystyle \otimes } je definována tak, že e ⊗ e = f ⊗ e = e {\displaystyle e\otimes e=f\otimes e=e} a f ⊗ f = e ⊗ f = f {\displaystyle f\otimes f=e\otimes f=f} , jsou oba prvky e {\displaystyle e\,} a f {\displaystyle f\,} levými neutrálními, ale neexistuje žádný pravý neutrální prvek.
jsou 
do sebe sama a
⊗
{\displaystyle \otimes }
.
a
f
{\displaystyle f\,}
a operace
⊗
{\displaystyle \otimes }
a
f
⊗
f
=
e
⊗
f
=
f
{\displaystyle f\otimes f=e\otimes f=f}
, jsou oba prvky
e
{\displaystyle e\,}
Jak ukazuje poslední příklad, ( A , ⊗ ) {\displaystyle (A,\otimes )} může mít několik levých neutrálních prvků, dokonce může platit, že každý prvek množiny A {\displaystyle A\,} je levým neutrálním. Stejně tak to platí pro pravé neutrální prvky. Pokud jsou ale v množině A {\displaystyle A\,} levé i pravé neutrální prvky, platí, že jsou si rovny a je tam tudíž právě jeden takový.
může mít několik levých neutrálních prvků, dokonce může platit, že každý prvek množiny
A
{\displaystyle A\,}
Odkazy
Poznámky
- ↑ Důkaz: Buď l levý neutrální a r pravý neutrální, pak l = l ⊗ r = r {\displaystyle l=l\otimes r=r} . V množině A tedy může být jen jeden neutrální prvek.
. V množině A tedy může být jen jeden neutrální prvek.