Lieova algebra

Lieova algebra je algebraická struktura, která úzce souvisí s Lieovými grupami a jejich reprezentacemi.

Lieova algebra je algebra, tj. vektorový prostor ${\displaystyle V}$ nad tělesem ${\displaystyle F}$ spolu s bilineárním zobrazením (Lieova závorka) ve tvaru

${\displaystyle :V\times V\to V}$,

které pro všechna ${\displaystyle x,y,z\in V}$ splňuje vlastnosti:

• Alternativita,

${\displaystyle =0}$.

• Jacobiho identita,

${\displaystyle ,z]+,x]+,y]=0}$.

Lze jednoduše z definice ukázat, že alternativita implikuje antikomutativitu, a naopak v případě, že uvažujeme těleso jiné charakteristiky než dva, antikomutativita implikuje alternativitu.

Uvažujme libovolné dva prvky ${\displaystyle x,y\in V}$. S využitím bilinearity Lieovy závorky lze psát

${\displaystyle =+++=+=0}$,

z čehož dostáváme antikomutativitu. Naopak stačí uvažovat

${\displaystyle =-}$,

z čehož plyne ${\displaystyle 2=0}$, a tudíž z antikomutativity plyne alternativita.

• Libovolný vektorový prostor s triviální (nulovou) závorkou: ${\displaystyle =0}$
• Třírozměrný vektorový prostor s vektorovým součinem: ${\displaystyle :={\vec {x}}\times {\vec {y}}}$

• matice ${\displaystyle n\times n}$ s nulovou stopou a komutátorem ${\displaystyle =AB-BA}$
• antisymetrické reálné matice spolu s komutátorem
• antihermitovské matice spolu s komutátorem
• funkce na fázovém prostoru spolu s Poissonovou závorkou
• vektorová pole na varietě s komutátorem vektorových polí
• Tečný prostor ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ Lieovy grupy G v jednotkovém prvku spolu se závorkou ${\displaystyle :=\mathrm {ad} (x)y}$, kde ${\displaystyle \mathrm {ad} \in \mathrm {End} ({\mathfrak {g}})}$ je derivace zobrazení ${\displaystyle \mathrm {Ad} _{\mathrm {exp} (tx)}\in \mathrm {Gl} ({\mathfrak {g}})}$ v ${\displaystyle t=0}$. Této Lieovy algebře ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ se říká Lieova algebra Lieovy grupy G. V případě maticových grup je ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ pouze tečný prostor G a ${\displaystyle }$ obyčejný komutátor matic.

• Sophus Lie

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.