Kosinová věta

V dnešním světě získal Kosinová věta nebývalý význam. Ať už na osobní, profesní nebo společenské úrovni, Kosinová věta se stal tématem nesporného významu. Od svého vzniku až po dnešní dopad vyvolal Kosinová věta rozsáhlou diskusi a vyvolal zájem odborníků v různých oblastech. V tomto článku prozkoumáme různé aspekty související s Kosinová věta a analyzujeme jeho vliv na různé aspekty každodenního života. Od svých ekonomických důsledků až po svou roli v dnešní společnosti se Kosinová věta stal tématem zájmu výzkumníků, akademiků i zvědavců. Na těchto stránkách se ponoříme do důležitosti Kosinová věta a důsledků, které s sebou nese v současném světě.

Úhly v α (u vrcholu A), β (u vrcholu B), a γ (u vrcholu C) jsou proti stranám a, b, c.

V trigonometrii je kosinová věta tvrzení o rovinných trojúhelnících, které umožňuje spočítat úhel v trojúhelníku na základě znalosti délek všech jeho tří stran (nebo pro výpočet délky strany, známe-li dvou zbylých stran a úhel mezi nimi). Podle kosinové věty pro každý rovinný s vnitřními úhly a stranami platí:[1]

Pythagorova věta je speciální případ kosinové věty, protože pro pravý úhel platí , takže například pro získáme . Alternativní větou pro obecný trojúhelník je sinová věta.

Historie

Ačkoliv v Eukleidově době ještě nebyl znám pojem kosinus, popisují jeho Základy ze 3. století př. n. l. ranou geometrickou větu, která je téměř ekvivalentní zde popisované kosinové větě. Varianty pro tupoúhlé a ostroúhlé trojúhelníky (odpovídající zápornému a kladnému výsledku funkce kosinus) jsou řešeny samostatně v Knize druhé v částech Úloha XII a XIII.[2][3] Protože goniometrické funkce a algebra (zejména záporná čísla) v Eukleidově době ještě neexistovaly, jsou tato tvrzení založena na geometrických vztazích:

Úloha XII.
V trojúhelnících tupoúhlých čtverec strany proti úhlu tupému větší jest nežli čtverce stran tupý úhel svírajících o dvojnásobný pravoúhelník sevřený jedním ramenem úhlu tupého, na něž dopadá kolmice, a vnější úsečkou při úhlu tupém, již kolmice omezuje.

Eukleidés, Eukleidovy Základy, překlad František Servít.[3]

Výše citované Eukleidovo tvrzení lze zapsat pro tupoúhlý , jenž má tupý úhel a z vrcholu je vedena kolmice na prodlouženou stranu , takto:

Eukleidovy Základy připravily cestu k pozdějšímu objevu kosinové věty. V 15. století uvedl perský matematik a astronom Džamšid al-Kaši první znění kosinové věty ve formě vhodné pro moderní použití při triangulaci, k čemuž poskytl i přesné trigonometrické tabulky. V roce 2020 je ve Francii kosinová věta stále označována jako Formule d'Al-Kashi.[4][5][6][7]

V západním světě zpopularizoval kosinovou větu v 16. století francouzský matematik François Viète. Na počátku 19. století umožnila moderní algebraická notace zapsat kosinovou větu v její současné symbolické podobě.

Důkaz

Tvrzení kosinové věty lze snadno dokázat pomocí skalárního součinu.

Elementární důkaz se opírá o Pythagorovu větu a goniometrické funkce sinus a kosinus. Výpočet strany trojúhelníku je vhodné rozdělit podle velikosti daného úhlu (ostrý, pravý a tupý):

  • Je-li ostrý a bod patou výšky , pak bod náleží straně (pokud ne, prohodíme označení bodů a ). Vzdálenost paty od bodu označíme . Pak podle Pythagorovy věty je
.
Protože dále platí, že a , lze psát
,
,
,
.
  • Je-li pravý, pak a podle Pythagorovy věty platí
.
  • Je-li tupý a bod patou výšky , pak bod leží mimo . Vzdálenost paty od bodu označíme . Pak podle Pythagorovy věty je
.
Protože dále platí, že a , dostáváme
,
,
.

Kosinová věta ve sférickém trojúhelníku

Ve sférickém trojúhelníku platí kosinová věta v této podobě:

Ortodroma

Tato podoba sférické kosinové věty se užívá v matematickém zeměpisu pro výpočet délky ortodromy („vzdušné“ vzdálenosti dvou míst na zemském povrchu):

kde

  • jsou zeměpisné šířky poměřovaných míst,
  • je rozdíl zeměpisných délek poměřovaných míst,
  • je ortodroma jako úhel mezi spojnicemi poměřovaných míst a středu Země.

Délku ortodromy pak lze vypočíst jako , je-li v radiánech, resp. , je-li ve stupních.

Související články

Odkazy

Reference

  1. MOTYČKOVÁ, Marie. Kosinová věta. www2.karlin.mff.cuni.cz . 2006 . Dostupné v archivu pořízeném z originálu dne 2024-02-25. 
  2. EUCLID. Elements . Redakce Thomas L. Heath; překlad Thomas L. Heath. . Dostupné online. 
  3. a b VOPĚNKA, Petr; SERVÍT, František. Eukleides, Základy. 2. vyd. Nymburk: OPS, 2008. 154 s. ISBN 978-80-903773-7-0. S. 92. 
  4. Programme de mathématiques de première générale . Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse, 2019-08-22 . S. 11,12. Dostupné online. 
  5. PICKOVER, Clifford A. The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics. : Sterling Publishing Company, Inc., 2009. Dostupné online. ISBN 9781402757969. S. 106. (anglicky) 
  6. IGARASHI, Yoshihide; ALTMAN, Tom; FUNADA, Mariko; KAMIYAMA, Barbara. Computing : A Historical and Technical Perspective. Boca Raton, Florida: CRC Press, 2014. ISBN 978-1-4822-2741-3. OCLC 882245835 S. 78. 
  7. BARUKČIĆ, Ilija. Causality: A Theory of Energy, Time and Space. 8th. vyd. : Lulu Press, November 7, 2008. Dostupné online. ISBN 978-1-4092-2954-4. S. 174. 

Související články

Externí odkazy