Koeficient špičatosti

Koeficient špičatosti (excesu) je charakteristika rozdělení náhodné veličiny, která porovnává dané rozdělení s normálním rozdělením pravděpodobnosti.

Koeficient špičatosti se obvykle označuje ${\displaystyle \gamma _{2}}$.

Koeficient špičatosti je definován vztahem

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}={\frac {\operatorname {E} ^{4}}{\left(\operatorname {var} \,X\right)^{2}}}}$,

kde ${\displaystyle \mu _{4}}$ je čtvrtý centrální moment, ${\displaystyle \sigma }$ je směrodatná odchylka, ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$ označuje střední hodnotu a ${\displaystyle \operatorname {var} \,X}$ je rozptyl.

Normální rozdělení má špičatost tři. Kladná špičatost značí, že většina hodnot náhodné veličiny leží blízko její střední hodnoty a hlavní vliv na rozptyl mají málo pravděpodobné odlehlé hodnoty. Křivka hustoty je špičatější, nežli u normálního rozdělení. Záporná špičatost značí, že rozdělení je rovnoměrnější a jeho křivka hustoty je plošší nežli u normálního rozdělení.

Špičatost rozdělení nezávisí na lineární transformaci náhodné veličiny, je tedy např. stejná pro všechna normální rozdělení.

Výběrový koeficient špičatosti je definován vzorcem

${\displaystyle g_{2}={\frac {m_{4}}{m_{2}^{2}}}=n{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{4}}{\left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right)^{2}}}}$,

kde ${\displaystyle {\overline {x}}}$ je výběrový průměr, ${\displaystyle m_{2}}$ je výběrový rozptyl a ${\displaystyle m_{4}}$ je čtvrtý výběrový centrální moment.

Tento odhad je vychýlený. Méně vychýlené odhady dostaneme, když místo výběrových centrálních momentů použijeme nevychýlené odhady centrálních momentů:^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{2}={\frac {M_{4}}{M_{2}^{2}}}&={\frac {(n-1)}{(n-2)(n-3)}}\left((n+1)g_{2}+6\right)\\b_{2}={\frac {m_{4}}{M_{2}^{2}}}&=\left({\frac {n-1}{n}}\right)^{2}g_{2}-3\end{aligned}}}$

Pro rozptyly těchto odhadů platí ${\displaystyle \operatorname {var} \,b_{2}<\operatorname {var} \,g_{2}<\operatorname {var} \,G_{2}}$.

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Koeficient špičatosti na Wikimedia Commons