Existenční kvantifikátor

Vzhled přesunout do postranního panelu skrýt

Znak	∃		∄
Název v Unicodu	There exists		There does not exist
Kódování	dec	hex	dec	hex
Unicode	8707	U+2203	8708	U+2204
UTF-8	226 136 131	e2 88 83	226 136 132	e2 88 84
Číselná entita	∃	∃	∄	∄
Názvová entita	∃

Existenční kvantifikátor (∃) (také malý kvantifikátor) je matematický symbol používaný nejčastěji v predikátové logice. Do běžného jazyka lze jeho význam přeložit jako „existuje“. Duálním kvantifikátorem k němu je obecný kvantifikátor s významem „pro každé“.

Etymologie

Znak ∃ pro existenční kvantifikátor vznikl převrácením písmena E z latinského existo a anglického Exists – existuje.

Ukázka použití

Řekněme, že chceme napsat matematickou formuli, která bude pravdivá právě tehdy, pokud nějaké přirozené číslo na druhou je rovno 25. Nejjednodušším přístupem by bylo napsat následující formuli:

0·0 = 25 nebo 1·1 = 25 nebo 2·2 = 25 nebo 3·3 = 25 atd.

Mohlo by se zdát, že toto je korektní formule výrokové logiky, protože jediná použitá spojka je "nebo". Ve výrokové logice bohužel není možno použít nekonečně mnoho spojek v jedné formuli a proto je potřeba zvolit jiný přístup, například rozšířit logiku tak, aby byla schopna vyjádřit následující formuli:

Pro nějaké přirozené číslo n platí n·n = 25.

Tato formule používá existenční kvantifikátor a přesněji vyjadřuje původní tvrzení, jelikož v původní formuli nebyl význam termínu atd. přesně zadefinován. Nebylo například zřejmé, že se má pokračovat pro všechna přirozená čísla. Oproti tomu druhá formule přímo specifikuje, že se jedná o přirozená čísla.

Formule "pro nějaké přirozené číslo n platí n·n = 25" je pravdivá, protože pokud nahradíme n číslem 5, dostaneme 5.5=25, což platí. Nezáleží na tom, zda pro ostatní n tvrzení platí (v tomto případě dokonce neplatí pro žádné číslo různé od 5). Stačí najít jedno jediné číslo.

Pokud změníme formuli na "Pro nějaké sudé číslo n platí n·n = 25", dostaneme nepravdivé tvrzení (nelze nalézt sudé číslo, kterým bychom n nahradili, a podmínka byla splněna). Na těchto dvou příkladech je vidět, že volba čísel, která můžeme použít, je důležitá a může změnit pravdivost tvrzení).

Formální zápis výše uvedených formulí je následující. Mějme predikát P ( a , b , c ) {\displaystyle P(a,b,c)} $P(a,b,c)$ vyjadřující a . b = c {\displaystyle a.b=c} $a.b=c$ a predikát Q ( a ) {\displaystyle Q(a)} $Q(a)$ vyjadřující "a je sudé". Potom se formule "pro nějaké přirozené číslo n platí n·n = 25" dá vyjádřit jako

∃ n ∈ N . P ( n , n , 25 ) {\displaystyle \exists {n}\in \mathbb {N} .\,P(n,n,25)}

\exists {n}\in \mathbb {N} .\,P(n,n,25)

a formule „pro nějaké sudé číslo n platí n·n = 25“ jako

∃ n ∈ N . Q ( n ) ∧ P ( n , n , 25 ) {\displaystyle \exists {n}\in \mathbb {N} .\,Q(n)\wedge P(n,n,25)}

\exists {n}\in \mathbb {N} .\,Q(n)\wedge P(n,n,25)

Vztah k obecnému kvantifikátoru

Fakt, že existuje a splňující tvrzení ϕ {\displaystyle \phi } $\phi$ lze alternativně vyjádřit tak, že není pravda, že každé a nesplňuje ϕ {\displaystyle \phi } $\phi$ . Platí tedy

∃ ≡ ¬ ∀ ¬ {\displaystyle \exists \equiv \neg \forall \neg } $\exists \equiv \neg \forall \neg$
∀ ≡ ¬ ∃ ¬ {\displaystyle \forall \equiv \neg \exists \neg } $\forall \equiv \neg \exists \neg$

Kvantifikátor jednoznačné existence

V matematických zápisech je někdy potřeba vyjádřit, že počet prvků, které danou formuli splňují, je přesně jedna, například "Existuje právě jedno přirozené číslo n, které splňuje n.n=25" je pravdivá formule, ale formule "Existuje právě jedno sudé číslo n, které splňuje n.n=25" a "Existuje právě jedno sudé číslo" pravdivé nejsou. Ve formálních zápisech se potom místo ∃ n {\displaystyle \exists {n}} $\exists {n}$ používá ∃ ! n {\displaystyle \exists !{n}} $\exists !{n}$ .

Ve skutečnosti se ale ∃ ! {\displaystyle \exists !} $\exists !$ dá vyjádřit pomocí samotného ∃ {\displaystyle \exists } $\exists$ . Formule ∃ ! n ϕ {\displaystyle \exists !n\phi } $\exists !n\phi$ totiž platí právě když platí ∃ n ( ϕ ∧ ¬ ∃ k ( k ≠ n ∧ ϕ ′ ) ) {\displaystyle \exists n(\phi \wedge \neg \exists k\,(k\not =n\wedge \phi '))} $\exists n(\phi \wedge \neg \exists k\,(k\not =n\wedge \phi '))$ kde formule ϕ ′ {\displaystyle \phi '} $\phi '$ vznikne z ϕ {\displaystyle \phi } $\phi$ záměnou volných výskytů proměnné n za k.

Pro všechny formule ϕ {\displaystyle \phi } $\phi$ platí, že jestliže ∃ ! n ϕ {\displaystyle \exists !n\,\phi } $\exists !n\,\phi$ , pak i ∃ n ϕ {\displaystyle \exists n\,\phi } $\exists n\,\phi$ , naopak to ale platit nemusí.

Kvantifikátor "existuje nekonečně mnoho"

Někdy je třeba vyjádřit, že existuje nekonečně mnoho prvků splňujících danou formuli. Například tvrzení "Existuje přirozené číslo n, které splňuje n < 17" je pravdivé tvrzení, zatímco "Existuje nekonečně mnoho přirozených čísel n takových, že n < 17" je nepravdivé.

Oproti tomu "Existuje nekonečně mnoho přirozených čísel n dělitelných pěti" je opět pravdivé tvrzení. V matematice se tento případ zapíše pomocí kvantifikátoru ∃ ∞ {\displaystyle {\stackrel {\infty }{\exists }}} ${\stackrel {\infty }{\exists }}$ , tedy pokud P(a) je predikát „a>8“, vyjadřuje ∃ ∞ n ∈ N P ( n ) {\displaystyle {\stackrel {\infty }{\exists }}n\in \mathbb {N} \,P(n)} ${\stackrel {\infty }{\exists }}n\in \mathbb {N} \,P(n)$ tvrzení „Existuje nekonečně mnoho přirozených čísel n takových, že n > 8“.

Pro všechny formule ϕ {\displaystyle \phi } $\phi$ platí, že jestliže ∃ ∞ n ϕ {\displaystyle {\stackrel {\infty }{\exists }}n\,\phi } ${\stackrel {\infty }{\exists }}n\,\phi$ , pak i ∃ n ϕ {\displaystyle \exists n\,\phi } $\exists n\,\phi$ , naopak to ale platit nemusí. Na druhou stranu pro žádnou formuli ϕ {\displaystyle \phi } $\phi$ nemůže zároveň platit ∃ ∞ n ϕ {\displaystyle {\stackrel {\infty }{\exists }}n\,\phi } ${\stackrel {\infty }{\exists }}n\,\phi$ a ∃ ! n ϕ {\displaystyle \exists !n\,\phi } $\exists !n\,\phi$ .

Kvantifikátor ∃ ∞ {\displaystyle {\stackrel {\infty }{\exists }}} ${\stackrel {\infty }{\exists }}$ nelze obecně v predikátové logice vyjádřit, pokud ale jsou ale prvky, přes které kvantifikujeme, lineárně uspořádány, lze formuli ∃ ∞ n ϕ {\displaystyle {\stackrel {\infty }{\exists }}n\,\phi } ${\stackrel {\infty }{\exists }}n\,\phi$ zapsat jako ∀ k ∃ n ( n > k ∧ ϕ ) {\displaystyle \forall k\,\exists n\,(n>k\wedge \phi )} $\forall k\,\exists n\,(n>k\wedge \phi )$ .

Související články

GND: 4153313-6